Resolucion Triangulo de Pascal

Del triángulo de Pascal de la figura se puede inferir el número total de los posibles resultados que se obtienen al lanzar una moneda hasta seis veces, en forma aleatoria. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

De la fila 1 2 1 se deduce que, si la moneda se lanza dos veces, teóricamente sólo en dos de los posibles resultados se obtiene una cara y un sello.
De la fila 1 3 3 1 se deduce que, si la moneda se lanza tres veces, teóricamente sólo se pueden obtener ocho posibles resultados distintos.
De la fila 1 6 15 20 15 6 1 se deduce que, si la moneda se lanza seis veces, teóricamente en quince de los resultados posibles se obtiene cuatro caras y dos sellos.

1    1
1    2     1
1    3     3    1
1    4     6     4   1
1    5   10    10    5 1
1   6   15   20    15   6   1

A)Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y II

Resolución:

Esta pregunta está asociada a un contenido de Segundo año medio referido a la iteración de experimentos sencillos, en este caso, el lanzamiento de una moneda y su relación con el Triángulo de Pascal.

Para resolver el ítem, el postulante debe recordar que el Triángulo de Pascal se utiliza como una técnica de conteo en la resolución de este tipo de problemas. Es decir, sintetiza el número de resultados obtenidos en el lanzamiento sucesivo de una moneda, distinguiendo el orden de aparición de las caras y los sellos, en cada lanzamiento.

Es así como, si se lanza una moneda una vez, los casos posibles de obtener son 1 cara (c) o 1 sello (s), que se representa en la primera fila del Triángulo de Pascal: 1 1.

Si se lanza una moneda dos veces, los casos posibles de obtener son: cc, cs, sc, ss, lo que significa que se tiene 1 caso en que aparecen dos caras, 2 casos distintos en que se obtiene una cara y un sello, y 1 caso en que se obtienen dos sellos. Dicha información se sintetiza en la segunda fila del Triángulo de Pascal: 1 2 1.

Ahora, si se lanza una moneda tres veces, los resultados que se pueden obtener son: ccc, scc, csc, ccs, ssc, scs, css, sss. Lo anterior significa que se tiene 1 caso en que aparecen tres caras, 3 casos distintos en que se obtiene un sello y dos caras, 3 casos distintos en que se obtienen dos sellos y una cara, y 1 caso en que se obtienen tres sellos. Dicha información se sintetiza en la tercera fila del Triángulo de Pascal: 1 3 3 1.

Ahora bien, si se analiza la información entregada en la afirmación I) de la pregunta, se concluye que ésta es verdadera, ya que la segunda fila del Triángulo de Pascal índica que sólo en dos de los posibles resultados se obtiene una cara y un sello.

La afirmación II) es verdadera, ya que la fila 1 3 3 1 representa el total de casos posibles al lanzar una moneda 3 veces, es decir, 8 posibles resultados distintos.

Y por último, la afirmación III) es verdadera, porque en seis lanzamientos de una moneda, existen 15 resultados en que se pueden obtener cuatro caras y dos sellos, representado con el primer 15 o el segundo 15 de la fila 1 6 15 20 15 6 1, según como se ordenen los resultados.

Como I), II) y III) son verdaderas, la opción correcta es E).